Theorem u2lemana 588

Description: Lemma for Dishkant implication study.

Assertion

Ref	Expression
u2lemana	((a ->2 b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))

Proof of Theorem u2lemana

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i2 44	. . 3 (a ->2 b) = (b v (a_|_ ^ b_|_))
2	1	ran 71	. 2 ((a ->2 b) ^ a_|_) = ((b v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a_|_)
3		ax-a2 30	. . . 4 (b v (a_|_ ^ b_|_)) = ((a_|_ ^ b_|_) v b)
4	3	ran 71	. . 3 ((b v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a_|_) = (((a_|_ ^ b_|_) v b) ^ a_|_)
5		coman1 177	. . . . 5 (a_|_ ^ b_|_) C a_|_
6		coman2 178	. . . . . 6 (a_|_ ^ b_|_) C b_|_
7	6	comcom7 442	. . . . 5 (a_|_ ^ b_|_) C b
8	5, 7	fh2r 456	. . . 4 (((a_|_ ^ b_|_) v b) ^ a_|_) = (((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_) v (b ^ a_|_))
9		an32 76	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ a_|_) ^ b_|_)
10		anidm 103	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ a_|_) = a_|_
11	10	ran 71	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ a_|_) ^ b_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
12	9, 11	ax-r2 35	. . . . . 6 ((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
13		ancom 68	. . . . . 6 (b ^ a_|_) = (a_|_ ^ b)
14	12, 13	2or 67	. . . . 5 (((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_) v (b ^ a_|_)) = ((a_|_ ^ b_|_) v (a_|_ ^ b))
15		ax-a2 30	. . . . 5 ((a_|_ ^ b_|_) v (a_|_ ^ b)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
16	14, 15	ax-r2 35	. . . 4 (((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_) v (b ^ a_|_)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
17	8, 16	ax-r2 35	. . 3 (((a_|_ ^ b_|_) v b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
18	4, 17	ax-r2 35	. 2 ((b v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
19	2, 18	ax-r2 35	1 ((a ->2 b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->2 wi2 14

This theorem is referenced by:  u2lemnoa 643

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i2 44  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org