Theorem u3lemanb 599

Description: Lemma for Kalmbach implication study.

Assertion

Ref	Expression
u3lemanb	((a ->3 b) ^ b_|_) = (a_|_ ^ b_|_)

Proof of Theorem u3lemanb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i3 45	. . 3 (a ->3 b) = (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b)))
2	1	ran 71	. 2 ((a ->3 b) ^ b_|_) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ b_|_)
3		comanr2 447	. . . . . . 7 b C (a_|_ ^ b)
4	3	comcom3 436	. . . . . 6 b_|_ C (a_|_ ^ b)
5		comanr2 447	. . . . . 6 b_|_ C (a_|_ ^ b_|_)
6	4, 5	com2or 465	. . . . 5 b_|_ C ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
7	6	comcom 435	. . . 4 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) C b_|_
8		coman1 177	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b) C a_|_
9	8	comcom7 442	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) C a
10		coman2 178	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b) C b
11	8, 10	com2or 465	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) C (a_|_ v b)
12	9, 11	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) C (a ^ (a_|_ v b))
13	12	comcom 435	. . . . . 6 (a ^ (a_|_ v b)) C (a_|_ ^ b)
14		coman1 177	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b_|_) C a_|_
15	14	comcom7 442	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b_|_) C a
16		coman2 178	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ b_|_) C b_|_
17	16	comcom7 442	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b_|_) C b
18	14, 17	com2or 465	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b_|_) C (a_|_ v b)
19	15, 18	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b_|_) C (a ^ (a_|_ v b))
20	19	comcom 435	. . . . . 6 (a ^ (a_|_ v b)) C (a_|_ ^ b_|_)
21	13, 20	com2or 465	. . . . 5 (a ^ (a_|_ v b)) C ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
22	21	comcom 435	. . . 4 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) C (a ^ (a_|_ v b))
23	7, 22	fh2r 456	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ b_|_) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ b_|_) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ b_|_))
24	10	comcom2 175	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) C b_|_
25	8, 24	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) C (a_|_ ^ b_|_)
26	24, 25	fh2r 456	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ b_|_) = (((a_|_ ^ b) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ b_|_))
27		ax-a2 30	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ b) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ b_|_)) = (((a_|_ ^ b_|_) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ b_|_))
28		anass 69	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ ^ b_|_) ^ b_|_) = (a_|_ ^ (b_|_ ^ b_|_))
29		anidm 103	. . . . . . . . . . 11 (b_|_ ^ b_|_) = b_|_
30	29	lan 70	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ (b_|_ ^ b_|_)) = (a_|_ ^ b_|_)
31	28, 30	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b_|_) ^ b_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
32		anass 69	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ ^ b) ^ b_|_) = (a_|_ ^ (b ^ b_|_))
33		dff 93	. . . . . . . . . . . . 13 0 = (b ^ b_|_)
34	33	lan 70	. . . . . . . . . . . 12 (a_|_ ^ 0) = (a_|_ ^ (b ^ b_|_))
35	34	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ (b ^ b_|_)) = (a_|_ ^ 0)
36		an0 100	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ 0) = 0
37	35, 36	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ (b ^ b_|_)) = 0
38	32, 37	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) ^ b_|_) = 0
39	31, 38	2or 67	. . . . . . . 8 (((a_|_ ^ b_|_) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ b_|_)) = ((a_|_ ^ b_|_) v 0)
40		or0 94	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b_|_) v 0) = (a_|_ ^ b_|_)
41	39, 40	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ b_|_) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ b_|_)) = (a_|_ ^ b_|_)
42	27, 41	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ b_|_)) = (a_|_ ^ b_|_)
43	26, 42	ax-r2 35	. . . . 5 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ b_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
44		an32 76	. . . . . 6 ((a ^ (a_|_ v b)) ^ b_|_) = ((a ^ b_|_) ^ (a_|_ v b))
45		ancom 68	. . . . . . 7 ((a ^ b_|_) ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) ^ (a ^ b_|_))
46		anor1 80	. . . . . . . . 9 (a ^ b_|_) = (a_|_ v b)_|_
47	46	lan 70	. . . . . . . 8 ((a_|_ v b) ^ (a ^ b_|_)) = ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b)_|_)
48		dff 93	. . . . . . . . 9 0 = ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b)_|_)
49	48	ax-r1 34	. . . . . . . 8 ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b)_|_) = 0
50	47, 49	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a_|_ v b) ^ (a ^ b_|_)) = 0
51	45, 50	ax-r2 35	. . . . . 6 ((a ^ b_|_) ^ (a_|_ v b)) = 0
52	44, 51	ax-r2 35	. . . . 5 ((a ^ (a_|_ v b)) ^ b_|_) = 0
53	43, 52	2or 67	. . . 4 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ b_|_) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ b_|_)) = ((a_|_ ^ b_|_) v 0)
54	53, 40	ax-r2 35	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ b_|_) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ b_|_)) = (a_|_ ^ b_|_)
55	23, 54	ax-r2 35	. 2 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ b_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
56	2, 55	ax-r2 35	1 ((a ->3 b) ^ b_|_) = (a_|_ ^ b_|_)

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 10   ->3 wi3 15

This theorem is referenced by:  u3lemnob 654  u3lem3 733  u3lem13b 772  neg3antlem2 847

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org