Theorem u3lemob 614

Description: Lemma for Kalmbach implication study.

Assertion

Ref	Expression
u3lemob	((a ->3 b) v b) = (a_|_ v b)

Proof of Theorem u3lemob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i3 45	. . 3 (a ->3 b) = (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b)))
2	1	ax-r5 37	. 2 ((a ->3 b) v b) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v b)
3		or32 75	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v b) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b) v (a ^ (a_|_ v b)))
4		or32 75	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b) = (((a_|_ ^ b) v b) v (a_|_ ^ b_|_))
5		lear 153	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) =< b
6	5	df-le2 123	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b) v b) = b
7	6	ax-r5 37	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) v b) v (a_|_ ^ b_|_)) = (b v (a_|_ ^ b_|_))
8	4, 7	ax-r2 35	. . . . 5 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b) = (b v (a_|_ ^ b_|_))
9		ancom 68	. . . . 5 (a ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) ^ a)
10	8, 9	2or 67	. . . 4 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b) v (a ^ (a_|_ v b))) = ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v ((a_|_ v b) ^ a))
11		comor2 444	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C b
12		comor1 443	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C a_|_
13	11	comcom2 175	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C b_|_
14	12, 13	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C (a_|_ ^ b_|_)
15	11, 14	com2or 465	. . . . . 6 (a_|_ v b) C (b v (a_|_ ^ b_|_))
16	12	comcom7 442	. . . . . 6 (a_|_ v b) C a
17	15, 16	fh4 454	. . . . 5 ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v ((a_|_ v b) ^ a)) = (((b v (a_|_ ^ b_|_)) v (a_|_ v b)) ^ ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v a))
18		or32 75	. . . . . . . 8 ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v (a_|_ v b)) = ((b v (a_|_ v b)) v (a_|_ ^ b_|_))
19		or12 73	. . . . . . . . . . 11 (b v (a_|_ v b)) = (a_|_ v (b v b))
20		oridm 102	. . . . . . . . . . . 12 (b v b) = b
21	20	lor 66	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ v (b v b)) = (a_|_ v b)
22	19, 21	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (b v (a_|_ v b)) = (a_|_ v b)
23	22	ax-r5 37	. . . . . . . . 9 ((b v (a_|_ v b)) v (a_|_ ^ b_|_)) = ((a_|_ v b) v (a_|_ ^ b_|_))
24		ax-a2 30	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ v b) v (a_|_ ^ b_|_)) = ((a_|_ ^ b_|_) v (a_|_ v b))
25		lea 152	. . . . . . . . . . . 12 (a_|_ ^ b_|_) =< a_|_
26		leo 150	. . . . . . . . . . . 12 a_|_ =< (a_|_ v b)
27	25, 26	letr 129	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ b_|_) =< (a_|_ v b)
28	27	df-le2 123	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ ^ b_|_) v (a_|_ v b)) = (a_|_ v b)
29	24, 28	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 ((a_|_ v b) v (a_|_ ^ b_|_)) = (a_|_ v b)
30	23, 29	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((b v (a_|_ v b)) v (a_|_ ^ b_|_)) = (a_|_ v b)
31	18, 30	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v (a_|_ v b)) = (a_|_ v b)
32		or32 75	. . . . . . . 8 ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v a) = ((b v a) v (a_|_ ^ b_|_))
33		ancom 68	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ b_|_) = (b_|_ ^ a_|_)
34		oran 79	. . . . . . . . . . . . 13 (b v a) = (b_|_ ^ a_|_)_|_
35	34	con2 64	. . . . . . . . . . . 12 (b v a)_|_ = (b_|_ ^ a_|_)
36	35	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 (b_|_ ^ a_|_) = (b v a)_|_
37	33, 36	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ b_|_) = (b v a)_|_
38	37	lor 66	. . . . . . . . 9 ((b v a) v (a_|_ ^ b_|_)) = ((b v a) v (b v a)_|_)
39		df-t 40	. . . . . . . . . 10 1 = ((b v a) v (b v a)_|_)
40	39	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 ((b v a) v (b v a)_|_) = 1
41	38, 40	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((b v a) v (a_|_ ^ b_|_)) = 1
42	32, 41	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v a) = 1
43	31, 42	2an 72	. . . . . 6 (((b v (a_|_ ^ b_|_)) v (a_|_ v b)) ^ ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v a)) = ((a_|_ v b) ^ 1)
44		an1 98	. . . . . 6 ((a_|_ v b) ^ 1) = (a_|_ v b)
45	43, 44	ax-r2 35	. . . . 5 (((b v (a_|_ ^ b_|_)) v (a_|_ v b)) ^ ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v a)) = (a_|_ v b)
46	17, 45	ax-r2 35	. . . 4 ((b v (a_|_ ^ b_|_)) v ((a_|_ v b) ^ a)) = (a_|_ v b)
47	10, 46	ax-r2 35	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b) v (a ^ (a_|_ v b))) = (a_|_ v b)
48	3, 47	ax-r2 35	. 2 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v b) = (a_|_ v b)
49	2, 48	ax-r2 35	1 ((a ->3 b) v b) = (a_|_ v b)

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 9   ->3 wi3 15

This theorem is referenced by:  u3lemnanb 639  neg3antlem2 847

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org