Theorem u3lemona 609

Description: Lemma for Kalmbach implication study.

Assertion

Ref	Expression
u3lemona	((a ->3 b) v a_|_) = (a_|_ v b)

Proof of Theorem u3lemona

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i3 45	. . 3 (a ->3 b) = (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b)))
2	1	ax-r5 37	. 2 ((a ->3 b) v a_|_) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v a_|_)
3		or32 75	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v a_|_) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))
4		lea 152	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) =< a_|_
5		lea 152	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b_|_) =< a_|_
6	4, 5	lel2or 162	. . . . . 6 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) =< a_|_
7	6	df-le2 123	. . . . 5 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_) = a_|_
8	7	ax-r5 37	. . . 4 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_) v (a ^ (a_|_ v b))) = (a_|_ v (a ^ (a_|_ v b)))
9		omln 428	. . . 4 (a_|_ v (a ^ (a_|_ v b))) = (a_|_ v b)
10	8, 9	ax-r2 35	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_) v (a ^ (a_|_ v b))) = (a_|_ v b)
11	3, 10	ax-r2 35	. 2 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v a_|_) = (a_|_ v b)
12	2, 11	ax-r2 35	1 ((a ->3 b) v a_|_) = (a_|_ v b)

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->3 wi3 15

This theorem is referenced by:  u3lemnaa 624  u3lem5 745

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123

metamath.org