Theorem u3lemonb 619

Description: Lemma for Kalmbach implication study.

Assertion

Ref	Expression
u3lemonb	((a ->3 b) v b_|_) = 1

Proof of Theorem u3lemonb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i3 45	. . 3 (a ->3 b) = (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b)))
2	1	ax-r5 37	. 2 ((a ->3 b) v b_|_) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v b_|_)
3		or32 75	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v b_|_) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))
4		ax-a3 31	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b_|_) = ((a_|_ ^ b) v ((a_|_ ^ b_|_) v b_|_))
5		lear 153	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b_|_) =< b_|_
6	5	df-le2 123	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b_|_) v b_|_) = b_|_
7	6	lor 66	. . . . . 6 ((a_|_ ^ b) v ((a_|_ ^ b_|_) v b_|_)) = ((a_|_ ^ b) v b_|_)
8	4, 7	ax-r2 35	. . . . 5 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b_|_) = ((a_|_ ^ b) v b_|_)
9		ancom 68	. . . . 5 (a ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) ^ a)
10	8, 9	2or 67	. . . 4 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b_|_) v (a ^ (a_|_ v b))) = (((a_|_ ^ b) v b_|_) v ((a_|_ v b) ^ a))
11		comor1 443	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C a_|_
12		comor2 444	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C b
13	11, 12	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C (a_|_ ^ b)
14	12	comcom2 175	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C b_|_
15	13, 14	com2or 465	. . . . . 6 (a_|_ v b) C ((a_|_ ^ b) v b_|_)
16	11	comcom7 442	. . . . . 6 (a_|_ v b) C a
17	15, 16	fh4 454	. . . . 5 (((a_|_ ^ b) v b_|_) v ((a_|_ v b) ^ a)) = ((((a_|_ ^ b) v b_|_) v (a_|_ v b)) ^ (((a_|_ ^ b) v b_|_) v a))
18		ax-a3 31	. . . . . . . 8 (((a_|_ ^ b) v b_|_) v (a_|_ v b)) = ((a_|_ ^ b) v (b_|_ v (a_|_ v b)))
19		ax-a2 30	. . . . . . . . . . 11 (b_|_ v (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) v b_|_)
20		ax-a3 31	. . . . . . . . . . . 12 ((a_|_ v b) v b_|_) = (a_|_ v (b v b_|_))
21		df-t 40	. . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (b v b_|_)
22	21	ax-r1 34	. . . . . . . . . . . . . 14 (b v b_|_) = 1
23	22	lor 66	. . . . . . . . . . . . 13 (a_|_ v (b v b_|_)) = (a_|_ v 1)
24		or1 96	. . . . . . . . . . . . 13 (a_|_ v 1) = 1
25	23, 24	ax-r2 35	. . . . . . . . . . . 12 (a_|_ v (b v b_|_)) = 1
26	20, 25	ax-r2 35	. . . . . . . . . . 11 ((a_|_ v b) v b_|_) = 1
27	19, 26	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (b_|_ v (a_|_ v b)) = 1
28	27	lor 66	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) v (b_|_ v (a_|_ v b))) = ((a_|_ ^ b) v 1)
29		or1 96	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) v 1) = 1
30	28, 29	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) v (b_|_ v (a_|_ v b))) = 1
31	18, 30	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ b) v b_|_) v (a_|_ v b)) = 1
32		ax-a3 31	. . . . . . . 8 (((a_|_ ^ b) v b_|_) v a) = ((a_|_ ^ b) v (b_|_ v a))
33		ancom 68	. . . . . . . . . . . . 13 (a_|_ ^ b) = (b ^ a_|_)
34		anor1 80	. . . . . . . . . . . . 13 (b ^ a_|_) = (b_|_ v a)_|_
35	33, 34	ax-r2 35	. . . . . . . . . . . 12 (a_|_ ^ b) = (b_|_ v a)_|_
36	35	con2 64	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ b)_|_ = (b_|_ v a)
37	36	ax-r1 34	. . . . . . . . . 10 (b_|_ v a) = (a_|_ ^ b)_|_
38	37	lor 66	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) v (b_|_ v a)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b)_|_)
39		df-t 40	. . . . . . . . . 10 1 = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b)_|_)
40	39	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b)_|_) = 1
41	38, 40	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) v (b_|_ v a)) = 1
42	32, 41	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ b) v b_|_) v a) = 1
43	31, 42	2an 72	. . . . . 6 ((((a_|_ ^ b) v b_|_) v (a_|_ v b)) ^ (((a_|_ ^ b) v b_|_) v a)) = (1 ^ 1)
44		an1 98	. . . . . 6 (1 ^ 1) = 1
45	43, 44	ax-r2 35	. . . . 5 ((((a_|_ ^ b) v b_|_) v (a_|_ v b)) ^ (((a_|_ ^ b) v b_|_) v a)) = 1
46	17, 45	ax-r2 35	. . . 4 (((a_|_ ^ b) v b_|_) v ((a_|_ v b) ^ a)) = 1
47	10, 46	ax-r2 35	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v b_|_) v (a ^ (a_|_ v b))) = 1
48	3, 47	ax-r2 35	. 2 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) v b_|_) = 1
49	2, 48	ax-r2 35	1 ((a ->3 b) v b_|_) = 1

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 9   ->3 wi3 15

This theorem is referenced by:  u3lemnab 634  u3lem3 733  u3lem4 740

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org