Theorem u4lem1 719

Description: Lemma for unified implication study.

Assertion

Ref	Expression
u4lem1	((a ->4 b) ->4 a) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))

Proof of Theorem u4lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. 2 ((a ->4 b) ->4 a) = ((((a ->4 b) ^ a) v ((a ->4 b)_|_ ^ a)) v (((a ->4 b)_|_ v a) ^ a_|_))
2		u4lemaa 585	. . . . 5 ((a ->4 b) ^ a) = (a ^ b)
3		u4lemnaa 625	. . . . 5 ((a ->4 b)_|_ ^ a) = (a ^ b_|_)
4	2, 3	2or 67	. . . 4 (((a ->4 b) ^ a) v ((a ->4 b)_|_ ^ a)) = ((a ^ b) v (a ^ b_|_))
5		u4lemnoa 645	. . . . 5 ((a ->4 b)_|_ v a) = ((a v b) ^ (a v b_|_))
6	5	ran 71	. . . 4 (((a ->4 b)_|_ v a) ^ a_|_) = (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_)
7	4, 6	2or 67	. . 3 ((((a ->4 b) ^ a) v ((a ->4 b)_|_ ^ a)) v (((a ->4 b)_|_ v a) ^ a_|_)) = (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_))
8		ancom 68	. . . . 5 (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_) = (a_|_ ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))
9	8	lor 66	. . . 4 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_)) = (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a_|_ ^ ((a v b) ^ (a v b_|_))))
10		comanr1 446	. . . . . . . 8 a C (a ^ b)
11		comanr1 446	. . . . . . . 8 a C (a ^ b_|_)
12	10, 11	com2or 465	. . . . . . 7 a C ((a ^ b) v (a ^ b_|_))
13	12	comcom3 436	. . . . . 6 a_|_ C ((a ^ b) v (a ^ b_|_))
14		comorr 176	. . . . . . . 8 a C (a v b)
15		comorr 176	. . . . . . . 8 a C (a v b_|_)
16	14, 15	com2an 466	. . . . . . 7 a C ((a v b) ^ (a v b_|_))
17	16	comcom3 436	. . . . . 6 a_|_ C ((a v b) ^ (a v b_|_))
18	13, 17	fh4 454	. . . . 5 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a_|_ ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v ((a v b) ^ (a v b_|_))))
19		comor1 443	. . . . . . . . . . 11 (a v b) C a
20		comor2 444	. . . . . . . . . . 11 (a v b) C b
21	19, 20	com2an 466	. . . . . . . . . 10 (a v b) C (a ^ b)
22	20	comcom2 175	. . . . . . . . . . 11 (a v b) C b_|_
23	19, 22	com2an 466	. . . . . . . . . 10 (a v b) C (a ^ b_|_)
24	21, 23	com2or 465	. . . . . . . . 9 (a v b) C ((a ^ b) v (a ^ b_|_))
25	19, 22	com2or 465	. . . . . . . . 9 (a v b) C (a v b_|_)
26	24, 25	fh4 454	. . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v ((a v b) ^ (a v b_|_))) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a v b)) ^ (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a v b_|_)))
27		lea 152	. . . . . . . . . . . 12 (a ^ b) =< a
28		lea 152	. . . . . . . . . . . 12 (a ^ b_|_) =< a
29	27, 28	lel2or 162	. . . . . . . . . . 11 ((a ^ b) v (a ^ b_|_)) =< a
30		leo 150	. . . . . . . . . . 11 a =< (a v b)
31	29, 30	letr 129	. . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a ^ b_|_)) =< (a v b)
32	31	df-le2 123	. . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a v b)) = (a v b)
33		leo 150	. . . . . . . . . . 11 a =< (a v b_|_)
34	29, 33	letr 129	. . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a ^ b_|_)) =< (a v b_|_)
35	34	df-le2 123	. . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a v b_|_)) = (a v b_|_)
36	32, 35	2an 72	. . . . . . . 8 ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a v b)) ^ (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a v b_|_))) = ((a v b) ^ (a v b_|_))
37	26, 36	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v ((a v b) ^ (a v b_|_))) = ((a v b) ^ (a v b_|_))
38	37	lan 70	. . . . . 6 ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v ((a v b) ^ (a v b_|_)))) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))
39		id 58	. . . . . 6 ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_))) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))
40	38, 39	ax-r2 35	. . . . 5 ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v ((a v b) ^ (a v b_|_)))) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))
41	18, 40	ax-r2 35	. . . 4 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (a_|_ ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))
42	9, 41	ax-r2 35	. . 3 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_)) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))
43	7, 42	ax-r2 35	. 2 ((((a ->4 b) ^ a) v ((a ->4 b)_|_ ^ a)) v (((a ->4 b)_|_ v a) ^ a_|_)) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))
44	1, 43	ax-r2 35	1 ((a ->4 b) ->4 a) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->4 wi4 16

This theorem is referenced by:  u4lem1n 724

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org