Theorem u4lem1n 724

Description: Lemma for unified implication study.

Assertion

Ref	Expression
u4lem1n	((a ->4 b) ->4 a)_|_ = ((((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a) v ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)))

Proof of Theorem u4lem1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oran1 83	. . . . 5 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) = (((a ^ b) v (a ^ b_|_))_|_ ^ a)_|_
2		df-a 39	. . . . . . . . . . 11 (a ^ b) = (a_|_ v b_|_)_|_
3		anor1 80	. . . . . . . . . . 11 (a ^ b_|_) = (a_|_ v b)_|_
4	2, 3	2or 67	. . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a ^ b_|_)) = ((a_|_ v b_|_)_|_ v (a_|_ v b)_|_)
5	4	ax-r4 36	. . . . . . . . 9 ((a ^ b) v (a ^ b_|_))_|_ = ((a_|_ v b_|_)_|_ v (a_|_ v b)_|_)_|_
6		df-a 39	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b_|_)_|_ v (a_|_ v b)_|_)_|_
7	6	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 ((a_|_ v b_|_)_|_ v (a_|_ v b)_|_)_|_ = ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))
8	5, 7	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a ^ b) v (a ^ b_|_))_|_ = ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))
9		ancom 68	. . . . . . . 8 ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_))
10	8, 9	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a ^ b) v (a ^ b_|_))_|_ = ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_))
11	10	ran 71	. . . . . 6 (((a ^ b) v (a ^ b_|_))_|_ ^ a) = (((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a)
12	11	ax-r4 36	. . . . 5 (((a ^ b) v (a ^ b_|_))_|_ ^ a)_|_ = (((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a)_|_
13	1, 12	ax-r2 35	. . . 4 (((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) = (((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a)_|_
14		ancom 68	. . . . 5 ((a v b) ^ (a v b_|_)) = ((a v b_|_) ^ (a v b))
15		df-a 39	. . . . . 6 ((a v b_|_) ^ (a v b)) = ((a v b_|_)_|_ v (a v b)_|_)_|_
16		anor2 81	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b) = (a v b_|_)_|_
17		anor3 82	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b_|_) = (a v b)_|_
18	16, 17	2or 67	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) = ((a v b_|_)_|_ v (a v b)_|_)
19	18	ax-r4 36	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))_|_ = ((a v b_|_)_|_ v (a v b)_|_)_|_
20	19	ax-r1 34	. . . . . 6 ((a v b_|_)_|_ v (a v b)_|_)_|_ = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))_|_
21	15, 20	ax-r2 35	. . . . 5 ((a v b_|_) ^ (a v b)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))_|_
22	14, 21	ax-r2 35	. . . 4 ((a v b) ^ (a v b_|_)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))_|_
23	13, 22	2an 72	. . 3 ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_))) = ((((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a)_|_ ^ ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))_|_)
24	23	ax-r4 36	. 2 ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))_|_ = ((((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a)_|_ ^ ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))_|_)_|_
25		u4lem1 719	. . 3 ((a ->4 b) ->4 a) = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))
26	25	ax-r4 36	. 2 ((a ->4 b) ->4 a)_|_ = ((((a ^ b) v (a ^ b_|_)) v a_|_) ^ ((a v b) ^ (a v b_|_)))_|_
27		oran 79	. 2 ((((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a) v ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))) = ((((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a)_|_ ^ ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))_|_)_|_
28	24, 26, 27	3tr1 60	1 ((a ->4 b) ->4 a)_|_ = ((((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ a) v ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->4 wi4 16

This theorem is referenced by:  u4lem2 729

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org