Theorem u4lemana 590

Description: Lemma for non-tollens implication study.

Assertion

Ref	Expression
u4lemana	((a ->4 b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))

Proof of Theorem u4lemana

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
2	1	ran 71	. 2 ((a ->4 b) ^ a_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) ^ a_|_)
3		comanr1 446	. . . . . . 7 a C (a ^ b)
4	3	comcom3 436	. . . . . 6 a_|_ C (a ^ b)
5		comanr1 446	. . . . . 6 a_|_ C (a_|_ ^ b)
6	4, 5	com2or 465	. . . . 5 a_|_ C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
7	6	comcom 435	. . . 4 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) C a_|_
8		comor1 443	. . . . . . . . 9 (a_|_ v b) C a_|_
9	8	comcom7 442	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C a
10		comor2 444	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C b
11	9, 10	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C (a ^ b)
12	8, 10	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C (a_|_ ^ b)
13	11, 12	com2or 465	. . . . . 6 (a_|_ v b) C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
14	13	comcom 435	. . . . 5 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) C (a_|_ v b)
15		comanr2 447	. . . . . . . 8 b C (a ^ b)
16	15	comcom3 436	. . . . . . 7 b_|_ C (a ^ b)
17		comanr2 447	. . . . . . . 8 b C (a_|_ ^ b)
18	17	comcom3 436	. . . . . . 7 b_|_ C (a_|_ ^ b)
19	16, 18	com2or 465	. . . . . 6 b_|_ C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
20	19	comcom 435	. . . . 5 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) C b_|_
21	14, 20	com2an 466	. . . 4 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) C ((a_|_ v b) ^ b_|_)
22	7, 21	fh2r 456	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) ^ a_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) v (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ a_|_))
23	4, 5	fh1r 455	. . . . . 6 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) = (((a ^ b) ^ a_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ a_|_))
24		an32 76	. . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ a_|_) = ((a ^ a_|_) ^ b)
25		ancom 68	. . . . . . . . . 10 ((a ^ a_|_) ^ b) = (b ^ (a ^ a_|_))
26		dff 93	. . . . . . . . . . . . 13 0 = (a ^ a_|_)
27	26	ax-r1 34	. . . . . . . . . . . 12 (a ^ a_|_) = 0
28	27	lan 70	. . . . . . . . . . 11 (b ^ (a ^ a_|_)) = (b ^ 0)
29		an0 100	. . . . . . . . . . 11 (b ^ 0) = 0
30	28, 29	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (b ^ (a ^ a_|_)) = 0
31	25, 30	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 ((a ^ a_|_) ^ b) = 0
32	24, 31	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ a_|_) = 0
33		an32 76	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ a_|_) ^ b)
34		anidm 103	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ a_|_) = a_|_
35	34	ran 71	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ a_|_) ^ b) = (a_|_ ^ b)
36	33, 35	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) ^ a_|_) = (a_|_ ^ b)
37	32, 36	2or 67	. . . . . . 7 (((a ^ b) ^ a_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ a_|_)) = (0 v (a_|_ ^ b))
38		ax-a2 30	. . . . . . . 8 (0 v (a_|_ ^ b)) = ((a_|_ ^ b) v 0)
39		or0 94	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) v 0) = (a_|_ ^ b)
40	38, 39	ax-r2 35	. . . . . . 7 (0 v (a_|_ ^ b)) = (a_|_ ^ b)
41	37, 40	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a ^ b) ^ a_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ a_|_)) = (a_|_ ^ b)
42	23, 41	ax-r2 35	. . . . 5 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) = (a_|_ ^ b)
43		an32 76	. . . . . 6 (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ a_|_) = (((a_|_ v b) ^ a_|_) ^ b_|_)
44		ancom 68	. . . . . . . 8 ((a_|_ v b) ^ a_|_) = (a_|_ ^ (a_|_ v b))
45		leo 150	. . . . . . . . 9 a_|_ =< (a_|_ v b)
46	45	df2le2 128	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ (a_|_ v b)) = a_|_
47	44, 46	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a_|_ v b) ^ a_|_) = a_|_
48	47	ran 71	. . . . . 6 (((a_|_ v b) ^ a_|_) ^ b_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
49	43, 48	ax-r2 35	. . . . 5 (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ a_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
50	42, 49	2or 67	. . . 4 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) v (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ a_|_)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
51		id 58	. . . 4 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
52	50, 51	ax-r2 35	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) v (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ a_|_)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
53	22, 52	ax-r2 35	. 2 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
54	2, 53	ax-r2 35	1 ((a ->4 b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 10   ->4 wi4 16

This theorem is referenced by:  u4lemnoa 645  u4lem5 746

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org