Theorem u4lemanb 600

Description: Lemma for non-tollens implication study.

Assertion

Ref	Expression
u4lemanb	((a ->4 b) ^ b_|_) = ((a_|_ v b) ^ b_|_)

Proof of Theorem u4lemanb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
2	1	ran 71	. 2 ((a ->4 b) ^ b_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) ^ b_|_)
3		comanr2 447	. . . . . 6 b C (a ^ b)
4	3	comcom3 436	. . . . 5 b_|_ C (a ^ b)
5		comanr2 447	. . . . . 6 b C (a_|_ ^ b)
6	5	comcom3 436	. . . . 5 b_|_ C (a_|_ ^ b)
7	4, 6	com2or 465	. . . 4 b_|_ C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
8		comorr2 445	. . . . . 6 b C (a_|_ v b)
9	8	comcom3 436	. . . . 5 b_|_ C (a_|_ v b)
10		comid 179	. . . . 5 b_|_ C b_|_
11	9, 10	com2an 466	. . . 4 b_|_ C ((a_|_ v b) ^ b_|_)
12	7, 11	fh1r 455	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) ^ b_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ b_|_) v (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ b_|_))
13		ax-a2 30	. . . 4 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ b_|_) v (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ b_|_)) = ((((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ b_|_) v (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ b_|_))
14		anass 69	. . . . . . 7 (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ b_|_) = ((a_|_ v b) ^ (b_|_ ^ b_|_))
15		anidm 103	. . . . . . . 8 (b_|_ ^ b_|_) = b_|_
16	15	lan 70	. . . . . . 7 ((a_|_ v b) ^ (b_|_ ^ b_|_)) = ((a_|_ v b) ^ b_|_)
17	14, 16	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ b_|_) = ((a_|_ v b) ^ b_|_)
18	4, 6	fh1r 455	. . . . . . 7 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ b_|_) = (((a ^ b) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ b_|_))
19		anass 69	. . . . . . . . . 10 ((a ^ b) ^ b_|_) = (a ^ (b ^ b_|_))
20		dff 93	. . . . . . . . . . . . 13 0 = (b ^ b_|_)
21	20	lan 70	. . . . . . . . . . . 12 (a ^ 0) = (a ^ (b ^ b_|_))
22	21	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 (a ^ (b ^ b_|_)) = (a ^ 0)
23		an0 100	. . . . . . . . . . 11 (a ^ 0) = 0
24	22, 23	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (a ^ (b ^ b_|_)) = 0
25	19, 24	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ b_|_) = 0
26		anass 69	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ ^ b) ^ b_|_) = (a_|_ ^ (b ^ b_|_))
27	20	lan 70	. . . . . . . . . . . 12 (a_|_ ^ 0) = (a_|_ ^ (b ^ b_|_))
28	27	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ (b ^ b_|_)) = (a_|_ ^ 0)
29		an0 100	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ 0) = 0
30	28, 29	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ (b ^ b_|_)) = 0
31	26, 30	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) ^ b_|_) = 0
32	25, 31	2or 67	. . . . . . . 8 (((a ^ b) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ b_|_)) = (0 v 0)
33		or0 94	. . . . . . . 8 (0 v 0) = 0
34	32, 33	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a ^ b) ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ b_|_)) = 0
35	18, 34	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ b_|_) = 0
36	17, 35	2or 67	. . . . 5 ((((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ b_|_) v (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ b_|_)) = (((a_|_ v b) ^ b_|_) v 0)
37		or0 94	. . . . 5 (((a_|_ v b) ^ b_|_) v 0) = ((a_|_ v b) ^ b_|_)
38	36, 37	ax-r2 35	. . . 4 ((((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ b_|_) v (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ b_|_)) = ((a_|_ v b) ^ b_|_)
39	13, 38	ax-r2 35	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ b_|_) v (((a_|_ v b) ^ b_|_) ^ b_|_)) = ((a_|_ v b) ^ b_|_)
40	12, 39	ax-r2 35	. 2 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) ^ b_|_) = ((a_|_ v b) ^ b_|_)
41	2, 40	ax-r2 35	1 ((a ->4 b) ^ b_|_) = ((a_|_ v b) ^ b_|_)

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 10   ->4 wi4 16

This theorem is referenced by:  u4lemnob 655  u24lem 752

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org