Theorem u4lemle2 700

Description: Non-tollens implication to l.e.

Hypothesis

Ref	Expression
u4lemle2.1	(a ->4 b) = 1

Assertion

Ref	Expression
u4lemle2	a =< b

Proof of Theorem u4lemle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. . . . . 6 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
2	1	ax-r1 34	. . . . 5 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (a ->4 b)
3		u4lemle2.1	. . . . 5 (a ->4 b) = 1
4	2, 3	ax-r2 35	. . . 4 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = 1
5	4	lan 70	. . 3 (a ^ (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))) = (a ^ 1)
6		comanr1 446	. . . . . . 7 a C (a ^ b)
7		comanr1 446	. . . . . . . 8 a_|_ C (a_|_ ^ b)
8	7	comcom6 441	. . . . . . 7 a C (a_|_ ^ b)
9	6, 8	com2or 465	. . . . . 6 a C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
10	9	comcom 435	. . . . 5 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) C a
11		comor1 443	. . . . . . . . . 10 (a_|_ v b) C a_|_
12	11	comcom7 442	. . . . . . . . 9 (a_|_ v b) C a
13		comor2 444	. . . . . . . . 9 (a_|_ v b) C b
14	12, 13	com2an 466	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C (a ^ b)
15	11, 13	com2an 466	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C (a_|_ ^ b)
16	14, 15	com2or 465	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
17	16	comcom 435	. . . . . 6 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) C (a_|_ v b)
18		comanr2 447	. . . . . . . . 9 b C (a ^ b)
19	18	comcom3 436	. . . . . . . 8 b_|_ C (a ^ b)
20		comanr2 447	. . . . . . . . 9 b C (a_|_ ^ b)
21	20	comcom3 436	. . . . . . . 8 b_|_ C (a_|_ ^ b)
22	19, 21	com2or 465	. . . . . . 7 b_|_ C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
23	22	comcom 435	. . . . . 6 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) C b_|_
24	17, 23	com2an 466	. . . . 5 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) C ((a_|_ v b) ^ b_|_)
25	10, 24	fh2 452	. . . 4 (a ^ (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))) = ((a ^ ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))) v (a ^ ((a_|_ v b) ^ b_|_)))
26	6, 8	fh1 451	. . . . . . 7 (a ^ ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))) = ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a_|_ ^ b)))
27		anidm 103	. . . . . . . . . . . . 13 (a ^ a) = a
28	27	ran 71	. . . . . . . . . . . 12 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ b)
29	28	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 (a ^ b) = ((a ^ a) ^ b)
30		anass 69	. . . . . . . . . . 11 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ (a ^ b))
31	29, 30	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (a ^ b) = (a ^ (a ^ b))
32		dff 93	. . . . . . . . . . . . 13 0 = (a ^ a_|_)
33	32	lan 70	. . . . . . . . . . . 12 (b ^ 0) = (b ^ (a ^ a_|_))
34		an0 100	. . . . . . . . . . . 12 (b ^ 0) = 0
35		ancom 68	. . . . . . . . . . . 12 (b ^ (a ^ a_|_)) = ((a ^ a_|_) ^ b)
36	33, 34, 35	3tr2 61	. . . . . . . . . . 11 0 = ((a ^ a_|_) ^ b)
37		anass 69	. . . . . . . . . . 11 ((a ^ a_|_) ^ b) = (a ^ (a_|_ ^ b))
38	36, 37	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 0 = (a ^ (a_|_ ^ b))
39	31, 38	2or 67	. . . . . . . . 9 ((a ^ b) v 0) = ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a_|_ ^ b)))
40	39	ax-r1 34	. . . . . . . 8 ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a_|_ ^ b))) = ((a ^ b) v 0)
41		or0 94	. . . . . . . 8 ((a ^ b) v 0) = (a ^ b)
42	40, 41	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a_|_ ^ b))) = (a ^ b)
43	26, 42	ax-r2 35	. . . . . 6 (a ^ ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))) = (a ^ b)
44		anor1 80	. . . . . . . 8 (a ^ b_|_) = (a_|_ v b)_|_
45	44	lan 70	. . . . . . 7 ((a_|_ v b) ^ (a ^ b_|_)) = ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b)_|_)
46		an12 74	. . . . . . 7 (a ^ ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = ((a_|_ v b) ^ (a ^ b_|_))
47		dff 93	. . . . . . 7 0 = ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b)_|_)
48	45, 46, 47	3tr1 60	. . . . . 6 (a ^ ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = 0
49	43, 48	2or 67	. . . . 5 ((a ^ ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))) v (a ^ ((a_|_ v b) ^ b_|_))) = ((a ^ b) v 0)
50	49, 41	ax-r2 35	. . . 4 ((a ^ ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))) v (a ^ ((a_|_ v b) ^ b_|_))) = (a ^ b)
51	25, 50	ax-r2 35	. . 3 (a ^ (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))) = (a ^ b)
52		an1 98	. . 3 (a ^ 1) = a
53	5, 51, 52	3tr2 61	. 2 (a ^ b) = a
54	53	df2le1 127	1 a =< b

Syntax hints:   = wb 1   =< wle 2  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 9  0wf 10   ->4 wi4 16

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org