Theorem u4lemob 615

Description: Lemma for non-tollens implication study.

Assertion

Ref	Expression
u4lemob	((a ->4 b) v b) = (a_|_ v b)

Proof of Theorem u4lemob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
2	1	ax-r5 37	. 2 ((a ->4 b) v b) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) v b)
3		or32 75	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) v b) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v b) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
4		lear 153	. . . . . . 7 (a ^ b) =< b
5		lear 153	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) =< b
6	4, 5	lel2or 162	. . . . . 6 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) =< b
7	6	df-le2 123	. . . . 5 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v b) = b
8	7	ax-r5 37	. . . 4 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v b) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (b v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
9		comorr2 445	. . . . . 6 b C (a_|_ v b)
10		comid 179	. . . . . . 7 b C b
11	10	comcom2 175	. . . . . 6 b C b_|_
12	9, 11	fh3 453	. . . . 5 (b v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = ((b v (a_|_ v b)) ^ (b v b_|_))
13		or12 73	. . . . . . . 8 (b v (a_|_ v b)) = (a_|_ v (b v b))
14		oridm 102	. . . . . . . . 9 (b v b) = b
15	14	lor 66	. . . . . . . 8 (a_|_ v (b v b)) = (a_|_ v b)
16	13, 15	ax-r2 35	. . . . . . 7 (b v (a_|_ v b)) = (a_|_ v b)
17		df-t 40	. . . . . . . 8 1 = (b v b_|_)
18	17	ax-r1 34	. . . . . . 7 (b v b_|_) = 1
19	16, 18	2an 72	. . . . . 6 ((b v (a_|_ v b)) ^ (b v b_|_)) = ((a_|_ v b) ^ 1)
20		an1 98	. . . . . 6 ((a_|_ v b) ^ 1) = (a_|_ v b)
21	19, 20	ax-r2 35	. . . . 5 ((b v (a_|_ v b)) ^ (b v b_|_)) = (a_|_ v b)
22	12, 21	ax-r2 35	. . . 4 (b v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (a_|_ v b)
23	8, 22	ax-r2 35	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v b) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (a_|_ v b)
24	3, 23	ax-r2 35	. 2 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) v b) = (a_|_ v b)
25	2, 24	ax-r2 35	1 ((a ->4 b) v b) = (a_|_ v b)

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 9   ->4 wi4 16

This theorem is referenced by:  u4lemnanb 640

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org