Theorem u4lemona 610

Description: Lemma for non-tollens implication study.

Assertion

Ref	Expression
u4lemona	((a ->4 b) v a_|_) = (a_|_ v b)

Proof of Theorem u4lemona

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
2	1	ax-r5 37	. 2 ((a ->4 b) v a_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) v a_|_)
3		or32 75	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) v a_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v a_|_) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
4		ax-a3 31	. . . . . 6 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v a_|_) = ((a ^ b) v ((a_|_ ^ b) v a_|_))
5		lea 152	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) =< a_|_
6	5	df-le2 123	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b) v a_|_) = a_|_
7	6	lor 66	. . . . . 6 ((a ^ b) v ((a_|_ ^ b) v a_|_)) = ((a ^ b) v a_|_)
8	4, 7	ax-r2 35	. . . . 5 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v a_|_) = ((a ^ b) v a_|_)
9	8	ax-r5 37	. . . 4 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v a_|_) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (((a ^ b) v a_|_) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
10		comor1 443	. . . . . . . . 9 (a_|_ v b) C a_|_
11	10	comcom7 442	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C a
12		comor2 444	. . . . . . . 8 (a_|_ v b) C b
13	11, 12	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C (a ^ b)
14	13, 10	com2or 465	. . . . . 6 (a_|_ v b) C ((a ^ b) v a_|_)
15	12	comcom2 175	. . . . . 6 (a_|_ v b) C b_|_
16	14, 15	fh4 454	. . . . 5 (((a ^ b) v a_|_) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = ((((a ^ b) v a_|_) v (a_|_ v b)) ^ (((a ^ b) v a_|_) v b_|_))
17		lear 153	. . . . . . . . . 10 (a ^ b) =< b
18		leor 151	. . . . . . . . . 10 b =< (a_|_ v b)
19	17, 18	letr 129	. . . . . . . . 9 (a ^ b) =< (a_|_ v b)
20		leo 150	. . . . . . . . 9 a_|_ =< (a_|_ v b)
21	19, 20	lel2or 162	. . . . . . . 8 ((a ^ b) v a_|_) =< (a_|_ v b)
22	21	df-le2 123	. . . . . . 7 (((a ^ b) v a_|_) v (a_|_ v b)) = (a_|_ v b)
23		ax-a3 31	. . . . . . . 8 (((a ^ b) v a_|_) v b_|_) = ((a ^ b) v (a_|_ v b_|_))
24		df-a 39	. . . . . . . . . . . 12 (a ^ b) = (a_|_ v b_|_)_|_
25	24	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ v b_|_)_|_ = (a ^ b)
26	25	con3 65	. . . . . . . . . 10 (a_|_ v b_|_) = (a ^ b)_|_
27	26	lor 66	. . . . . . . . 9 ((a ^ b) v (a_|_ v b_|_)) = ((a ^ b) v (a ^ b)_|_)
28		df-t 40	. . . . . . . . . 10 1 = ((a ^ b) v (a ^ b)_|_)
29	28	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 ((a ^ b) v (a ^ b)_|_) = 1
30	27, 29	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a ^ b) v (a_|_ v b_|_)) = 1
31	23, 30	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a ^ b) v a_|_) v b_|_) = 1
32	22, 31	2an 72	. . . . . 6 ((((a ^ b) v a_|_) v (a_|_ v b)) ^ (((a ^ b) v a_|_) v b_|_)) = ((a_|_ v b) ^ 1)
33		an1 98	. . . . . 6 ((a_|_ v b) ^ 1) = (a_|_ v b)
34	32, 33	ax-r2 35	. . . . 5 ((((a ^ b) v a_|_) v (a_|_ v b)) ^ (((a ^ b) v a_|_) v b_|_)) = (a_|_ v b)
35	16, 34	ax-r2 35	. . . 4 (((a ^ b) v a_|_) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (a_|_ v b)
36	9, 35	ax-r2 35	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v a_|_) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (a_|_ v b)
37	3, 36	ax-r2 35	. 2 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) v a_|_) = (a_|_ v b)
38	2, 37	ax-r2 35	1 ((a ->4 b) v a_|_) = (a_|_ v b)

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 9   ->4 wi4 16

This theorem is referenced by:  u4lemnaa 625  u4lem5 746

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org