Theorem u5lemana 591

Description: Lemma for relevance implication study.

Assertion

Ref	Expression
u5lemana	((a ->5 b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))

Proof of Theorem u5lemana

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i5 47	. . 3 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_))
2	1	ran 71	. 2 ((a ->5 b) ^ a_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a_|_)
3		comanr1 446	. . . . . 6 a C (a ^ b)
4	3	comcom3 436	. . . . 5 a_|_ C (a ^ b)
5		comanr1 446	. . . . 5 a_|_ C (a_|_ ^ b)
6	4, 5	com2or 465	. . . 4 a_|_ C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
7		comanr1 446	. . . 4 a_|_ C (a_|_ ^ b_|_)
8	6, 7	fh1r 455	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_))
9	4, 5	fh1r 455	. . . . 5 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) = (((a ^ b) ^ a_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ a_|_))
10		ax-a2 30	. . . . . 6 (((a ^ b) ^ a_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ a_|_)) = (((a_|_ ^ b) ^ a_|_) v ((a ^ b) ^ a_|_))
11		an32 76	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ a_|_) ^ b)
12		anidm 103	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ a_|_) = a_|_
13	12	ran 71	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ a_|_) ^ b) = (a_|_ ^ b)
14	11, 13	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) ^ a_|_) = (a_|_ ^ b)
15		an32 76	. . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ a_|_) = ((a ^ a_|_) ^ b)
16		ancom 68	. . . . . . . . . 10 ((a ^ a_|_) ^ b) = (b ^ (a ^ a_|_))
17		dff 93	. . . . . . . . . . . . 13 0 = (a ^ a_|_)
18	17	lan 70	. . . . . . . . . . . 12 (b ^ 0) = (b ^ (a ^ a_|_))
19	18	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 (b ^ (a ^ a_|_)) = (b ^ 0)
20		an0 100	. . . . . . . . . . 11 (b ^ 0) = 0
21	19, 20	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (b ^ (a ^ a_|_)) = 0
22	16, 21	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 ((a ^ a_|_) ^ b) = 0
23	15, 22	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ a_|_) = 0
24	14, 23	2or 67	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ b) ^ a_|_) v ((a ^ b) ^ a_|_)) = ((a_|_ ^ b) v 0)
25		or0 94	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b) v 0) = (a_|_ ^ b)
26	24, 25	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) ^ a_|_) v ((a ^ b) ^ a_|_)) = (a_|_ ^ b)
27	10, 26	ax-r2 35	. . . . 5 (((a ^ b) ^ a_|_) v ((a_|_ ^ b) ^ a_|_)) = (a_|_ ^ b)
28	9, 27	ax-r2 35	. . . 4 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) = (a_|_ ^ b)
29		an32 76	. . . . 5 ((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ a_|_) ^ b_|_)
30	12	ran 71	. . . . 5 ((a_|_ ^ a_|_) ^ b_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
31	29, 30	ax-r2 35	. . . 4 ((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_) = (a_|_ ^ b_|_)
32	28, 31	2or 67	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a_|_) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ a_|_)) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
33	8, 32	ax-r2 35	. 2 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
34	2, 33	ax-r2 35	1 ((a ->5 b) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 10   ->5 wi5 17

This theorem is referenced by:  u5lemnoa 646

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i5 47  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org