Theorem u5lemona 611

Description: Lemma for relevance implication study.

Assertion

Ref	Expression
u5lemona	((a ->5 b) v a_|_) = (a_|_ v (a ^ b))

Proof of Theorem u5lemona

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i5 47	. . 3 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_))
2	1	ax-r5 37	. 2 ((a ->5 b) v a_|_) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_)
3		ax-a3 31	. . . 4 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) = ((a ^ b) v ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)))
4	3	ax-r5 37	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_) = (((a ^ b) v ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))) v a_|_)
5		ax-a3 31	. . . 4 (((a ^ b) v ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))) v a_|_) = ((a ^ b) v (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_))
6		lea 152	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) =< a_|_
7		lea 152	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b_|_) =< a_|_
8	6, 7	lel2or 162	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) =< a_|_
9	8	df-le2 123	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_) = a_|_
10	9	lor 66	. . . . 5 ((a ^ b) v (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_)) = ((a ^ b) v a_|_)
11		ax-a2 30	. . . . 5 ((a ^ b) v a_|_) = (a_|_ v (a ^ b))
12	10, 11	ax-r2 35	. . . 4 ((a ^ b) v (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_)) = (a_|_ v (a ^ b))
13	5, 12	ax-r2 35	. . 3 (((a ^ b) v ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))) v a_|_) = (a_|_ v (a ^ b))
14	4, 13	ax-r2 35	. 2 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) v a_|_) = (a_|_ v (a ^ b))
15	2, 14	ax-r2 35	1 ((a ->5 b) v a_|_) = (a_|_ v (a ^ b))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->5 wi5 17

This theorem is referenced by:  u5lemnaa 626  u5lem5 747

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37

This theorem depends on definitions:  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i5 47  df-le1 122  df-le2 123

metamath.org