Theorem ud3lem1d 551

Description: Lemma for unified disjunction.

Assertion

Ref	Expression
ud3lem1d	((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)_|_ v (b ->3 a))) = ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))

Proof of Theorem ud3lem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i3 45	. . 3 (a ->3 b) = (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b)))
2		ud3lem1c 550	. . 3 ((a ->3 b)_|_ v (b ->3 a)) = (a v b_|_)
3	1, 2	2an 72	. 2 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)_|_ v (b ->3 a))) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ (a v b_|_))
4		comor1 443	. . . . . . 7 (a v b_|_) C a
5	4	comcom2 175	. . . . . 6 (a v b_|_) C a_|_
6		comor2 444	. . . . . . 7 (a v b_|_) C b_|_
7	6	comcom7 442	. . . . . 6 (a v b_|_) C b
8	5, 7	com2an 466	. . . . 5 (a v b_|_) C (a_|_ ^ b)
9	5, 6	com2an 466	. . . . 5 (a v b_|_) C (a_|_ ^ b_|_)
10	8, 9	com2or 465	. . . 4 (a v b_|_) C ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
11	5, 7	com2or 465	. . . . 5 (a v b_|_) C (a_|_ v b)
12	4, 11	com2an 466	. . . 4 (a v b_|_) C (a ^ (a_|_ v b))
13	10, 12	fh1r 455	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ (a v b_|_)) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b_|_)) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b_|_)))
14	8, 9	fh1r 455	. . . . 5 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b_|_)) = (((a_|_ ^ b) ^ (a v b_|_)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b_|_)))
15		an32 76	. . . . . 6 ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b_|_)) = ((a ^ (a v b_|_)) ^ (a_|_ v b))
16		a5c 113	. . . . . . 7 (a ^ (a v b_|_)) = a
17	16	ran 71	. . . . . 6 ((a ^ (a v b_|_)) ^ (a_|_ v b)) = (a ^ (a_|_ v b))
18	15, 17	ax-r2 35	. . . . 5 ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b_|_)) = (a ^ (a_|_ v b))
19	14, 18	2or 67	. . . 4 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b_|_)) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b_|_))) = ((((a_|_ ^ b) ^ (a v b_|_)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b_|_))) v (a ^ (a_|_ v b)))
20		ancom 68	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) ^ (a v b_|_)) = ((a v b_|_) ^ (a_|_ ^ b))
21		anor2 81	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ b) = (a v b_|_)_|_
22	21	lan 70	. . . . . . . . 9 ((a v b_|_) ^ (a_|_ ^ b)) = ((a v b_|_) ^ (a v b_|_)_|_)
23		dff 93	. . . . . . . . . 10 0 = ((a v b_|_) ^ (a v b_|_)_|_)
24	23	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 ((a v b_|_) ^ (a v b_|_)_|_) = 0
25	22, 24	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a v b_|_) ^ (a_|_ ^ b)) = 0
26	20, 25	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b) ^ (a v b_|_)) = 0
27		lear 153	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b_|_) =< b_|_
28		leor 151	. . . . . . . . 9 b_|_ =< (a v b_|_)
29	27, 28	letr 129	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b_|_) =< (a v b_|_)
30	29	df2le2 128	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b_|_)) = (a_|_ ^ b_|_)
31	26, 30	2or 67	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) ^ (a v b_|_)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b_|_))) = (0 v (a_|_ ^ b_|_))
32		or0r 95	. . . . . 6 (0 v (a_|_ ^ b_|_)) = (a_|_ ^ b_|_)
33	31, 32	ax-r2 35	. . . . 5 (((a_|_ ^ b) ^ (a v b_|_)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b_|_))) = (a_|_ ^ b_|_)
34	33	ax-r5 37	. . . 4 ((((a_|_ ^ b) ^ (a v b_|_)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b_|_))) v (a ^ (a_|_ v b))) = ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))
35	19, 34	ax-r2 35	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b_|_)) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b_|_))) = ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))
36	13, 35	ax-r2 35	. 2 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ (a v b_|_)) = ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))
37	3, 36	ax-r2 35	1 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)_|_ v (b ->3 a))) = ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 10   ->3 wi3 15

This theorem is referenced by:  ud3lem1 552

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org