Theorem ud3lem2 553

Description: Lemma for unified disjunction.

Assertion

Ref	Expression
ud3lem2	((a v (a_|_ ^ b_|_)) ->3 a) = (a v b)

Proof of Theorem ud3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oran 79	. . . . . . 7 (a v b) = (a_|_ ^ b_|_)_|_
2	1	ax-r1 34	. . . . . 6 (a_|_ ^ b_|_)_|_ = (a v b)
3	2	con3 65	. . . . 5 (a_|_ ^ b_|_) = (a v b)_|_
4	3	lor 66	. . . 4 (a v (a_|_ ^ b_|_)) = (a v (a v b)_|_)
5		anor2 81	. . . . . 6 (a_|_ ^ (a v b)) = (a v (a v b)_|_)_|_
6	5	ax-r1 34	. . . . 5 (a v (a v b)_|_)_|_ = (a_|_ ^ (a v b))
7	6	con3 65	. . . 4 (a v (a v b)_|_) = (a_|_ ^ (a v b))_|_
8	4, 7	ax-r2 35	. . 3 (a v (a_|_ ^ b_|_)) = (a_|_ ^ (a v b))_|_
9	8	ud3lem0b 253	. 2 ((a v (a_|_ ^ b_|_)) ->3 a) = ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ->3 a)
10		df-i3 45	. . 3 ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ->3 a) = ((((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a) v ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_)) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a)))
11		ax-a3 31	. . . 4 ((((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a) v ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_)) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))) = (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a) v (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))))
12		ax-a2 30	. . . . 5 (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a) v (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a)))) = ((((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))) v ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a))
13		ax-a1 29	. . . . . . . . . . . . 13 (a_|_ ^ (a v b)) = (a_|_ ^ (a v b))_|__|_
14	13	ran 71	. . . . . . . . . . . 12 ((a_|_ ^ (a v b)) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_)
15	14	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) = ((a_|_ ^ (a v b)) ^ a_|_)
16		an32 76	. . . . . . . . . . . 12 ((a_|_ ^ (a v b)) ^ a_|_) = ((a_|_ ^ a_|_) ^ (a v b))
17		anidm 103	. . . . . . . . . . . . 13 (a_|_ ^ a_|_) = a_|_
18	17	ran 71	. . . . . . . . . . . 12 ((a_|_ ^ a_|_) ^ (a v b)) = (a_|_ ^ (a v b))
19	16, 18	ax-r2 35	. . . . . . . . . . 11 ((a_|_ ^ (a v b)) ^ a_|_) = (a_|_ ^ (a v b))
20	15, 19	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) = (a_|_ ^ (a v b))
21	13	ax-r5 37	. . . . . . . . . . . . 13 ((a_|_ ^ (a v b)) v a) = ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a)
22	7, 21	2an 72	. . . . . . . . . . . 12 ((a v (a v b)_|_) ^ ((a_|_ ^ (a v b)) v a)) = ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))
23	22	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a)) = ((a v (a v b)_|_) ^ ((a_|_ ^ (a v b)) v a))
24		ax-a2 30	. . . . . . . . . . . . . 14 ((a_|_ ^ (a v b)) v a) = (a v (a_|_ ^ (a v b)))
25		oml 427	. . . . . . . . . . . . . 14 (a v (a_|_ ^ (a v b))) = (a v b)
26	24, 25	ax-r2 35	. . . . . . . . . . . . 13 ((a_|_ ^ (a v b)) v a) = (a v b)
27	26	lan 70	. . . . . . . . . . . 12 ((a v (a v b)_|_) ^ ((a_|_ ^ (a v b)) v a)) = ((a v (a v b)_|_) ^ (a v b))
28		comorr 176	. . . . . . . . . . . . . 14 a C (a v b)
29	28	comcom2 175	. . . . . . . . . . . . . 14 a C (a v b)_|_
30	28, 29	fh2r 456	. . . . . . . . . . . . 13 ((a v (a v b)_|_) ^ (a v b)) = ((a ^ (a v b)) v ((a v b)_|_ ^ (a v b)))
31		a5c 113	. . . . . . . . . . . . . . 15 (a ^ (a v b)) = a
32		ancom 68	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ((a v b)_|_ ^ (a v b)) = ((a v b) ^ (a v b)_|_)
33		dff 93	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = ((a v b) ^ (a v b)_|_)
34	33	ax-r1 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ((a v b) ^ (a v b)_|_) = 0
35	32, 34	ax-r2 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ((a v b)_|_ ^ (a v b)) = 0
36	31, 35	2or 67	. . . . . . . . . . . . . 14 ((a ^ (a v b)) v ((a v b)_|_ ^ (a v b))) = (a v 0)
37		or0 94	. . . . . . . . . . . . . 14 (a v 0) = a
38	36, 37	ax-r2 35	. . . . . . . . . . . . 13 ((a ^ (a v b)) v ((a v b)_|_ ^ (a v b))) = a
39	30, 38	ax-r2 35	. . . . . . . . . . . 12 ((a v (a v b)_|_) ^ (a v b)) = a
40	27, 39	ax-r2 35	. . . . . . . . . . 11 ((a v (a v b)_|_) ^ ((a_|_ ^ (a v b)) v a)) = a
41	23, 40	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a)) = a
42	20, 41	2or 67	. . . . . . . . 9 (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))) = ((a_|_ ^ (a v b)) v a)
43	42, 24	ax-r2 35	. . . . . . . 8 (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))) = (a v (a_|_ ^ (a v b)))
44	43, 25	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))) = (a v b)
45		ancom 68	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a) = (a ^ (a_|_ ^ (a v b))_|__|_)
46	13	lan 70	. . . . . . . . . 10 (a ^ (a_|_ ^ (a v b))) = (a ^ (a_|_ ^ (a v b))_|__|_)
47	46	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 (a ^ (a_|_ ^ (a v b))_|__|_) = (a ^ (a_|_ ^ (a v b)))
48		anass 69	. . . . . . . . . . 11 ((a ^ a_|_) ^ (a v b)) = (a ^ (a_|_ ^ (a v b)))
49	48	ax-r1 34	. . . . . . . . . 10 (a ^ (a_|_ ^ (a v b))) = ((a ^ a_|_) ^ (a v b))
50		ancom 68	. . . . . . . . . . 11 ((a ^ a_|_) ^ (a v b)) = ((a v b) ^ (a ^ a_|_))
51		dff 93	. . . . . . . . . . . . . 14 0 = (a ^ a_|_)
52	51	lan 70	. . . . . . . . . . . . 13 ((a v b) ^ 0) = ((a v b) ^ (a ^ a_|_))
53	52	ax-r1 34	. . . . . . . . . . . 12 ((a v b) ^ (a ^ a_|_)) = ((a v b) ^ 0)
54		an0 100	. . . . . . . . . . . 12 ((a v b) ^ 0) = 0
55	53, 54	ax-r2 35	. . . . . . . . . . 11 ((a v b) ^ (a ^ a_|_)) = 0
56	50, 55	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 ((a ^ a_|_) ^ (a v b)) = 0
57	49, 56	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 (a ^ (a_|_ ^ (a v b))) = 0
58	47, 57	ax-r2 35	. . . . . . . 8 (a ^ (a_|_ ^ (a v b))_|__|_) = 0
59	45, 58	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a) = 0
60	44, 59	2or 67	. . . . . 6 ((((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))) v ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a)) = ((a v b) v 0)
61		or0 94	. . . . . 6 ((a v b) v 0) = (a v b)
62	60, 61	ax-r2 35	. . . . 5 ((((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v a))) v ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a)) = (a v b)
63	12, 62	ax-r2 35	. . . 4 (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a) v (((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ ^ a_|_) v ((a_|_ ^ (a v b))_|_ ^ ((a_|_ ^ (a v b))_|__|_ v