Theorem ud3lem3d 557

Description: Lemma for unified disjunction.

Assertion

Ref	Expression
ud3lem3d	((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)_|_ v (a v b))) = ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b)))

Proof of Theorem ud3lem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i3 45	. . 3 (a ->3 b) = (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b)))
2		ud3lem3c 556	. . 3 ((a ->3 b)_|_ v (a v b)) = (a v b)
3	1, 2	2an 72	. 2 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)_|_ v (a v b))) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ (a v b))
4		comor1 443	. . . . . . 7 (a v b) C a
5	4	comcom2 175	. . . . . 6 (a v b) C a_|_
6		comor2 444	. . . . . 6 (a v b) C b
7	5, 6	com2an 466	. . . . 5 (a v b) C (a_|_ ^ b)
8	6	comcom2 175	. . . . . 6 (a v b) C b_|_
9	5, 8	com2an 466	. . . . 5 (a v b) C (a_|_ ^ b_|_)
10	7, 9	com2or 465	. . . 4 (a v b) C ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_))
11	5, 6	com2or 465	. . . . 5 (a v b) C (a_|_ v b)
12	4, 11	com2an 466	. . . 4 (a v b) C (a ^ (a_|_ v b))
13	10, 12	fh1r 455	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ (a v b)) = ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b)) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b)))
14		coman1 177	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b) C a_|_
15	14	comcom7 442	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) C a
16		coman2 178	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) C b
17	15, 16	com2or 465	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) C (a v b)
18	16	comcom2 175	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) C b_|_
19	14, 18	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) C (a_|_ ^ b_|_)
20	17, 19	fh2r 456	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b)) = (((a_|_ ^ b) ^ (a v b)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b)))
21		lear 153	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ b) =< b
22		leor 151	. . . . . . . . . 10 b =< (a v b)
23	21, 22	letr 129	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b) =< (a v b)
24	23	df2le2 128	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) ^ (a v b)) = (a_|_ ^ b)
25		oran 79	. . . . . . . . . 10 (a v b) = (a_|_ ^ b_|_)_|_
26	25	lan 70	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b)) = ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b_|_)_|_)
27		dff 93	. . . . . . . . . 10 0 = ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b_|_)_|_)
28	27	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b_|_)_|_) = 0
29	26, 28	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b)) = 0
30	24, 29	2or 67	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ b) ^ (a v b)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b))) = ((a_|_ ^ b) v 0)
31		or0 94	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b) v 0) = (a_|_ ^ b)
32	30, 31	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) ^ (a v b)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a v b))) = (a_|_ ^ b)
33	20, 32	ax-r2 35	. . . . 5 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b)) = (a_|_ ^ b)
34	33	ax-r5 37	. . . 4 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b)) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b))) = ((a_|_ ^ b) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b)))
35		lea 152	. . . . . . 7 (a ^ (a_|_ v b)) =< a
36		leo 150	. . . . . . 7 a =< (a v b)
37	35, 36	letr 129	. . . . . 6 (a ^ (a_|_ v b)) =< (a v b)
38	37	df2le2 128	. . . . 5 ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b)) = (a ^ (a_|_ v b))
39	38	lor 66	. . . 4 ((a_|_ ^ b) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b))) = ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b)))
40	34, 39	ax-r2 35	. . 3 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v b)) v ((a ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b))) = ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b)))
41	13, 40	ax-r2 35	. 2 ((((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) ^ (a v b)) = ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b)))
42	3, 41	ax-r2 35	1 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)_|_ v (a v b))) = ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b)))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 10   ->3 wi3 15

This theorem is referenced by:  ud3lem3 558

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org