Theorem ud4lem0c 272

Description: Lemma for unified disjunction.

Assertion

Ref	Expression
ud4lem0c	(a ->4 b)_|_ = (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a ^ b_|_) v b))

Proof of Theorem ud4lem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
2		oran 79	. . . 4 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b))_|_ ^ ((a_|_ v b) ^ b_|_)_|_)_|_
3		oran 79	. . . . . . . 8 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) = ((a ^ b)_|_ ^ (a_|_ ^ b)_|_)_|_
4		df-a 39	. . . . . . . . . . 11 (a ^ b) = (a_|_ v b_|_)_|_
5	4	con2 64	. . . . . . . . . 10 (a ^ b)_|_ = (a_|_ v b_|_)
6		anor2 81	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ b) = (a v b_|_)_|_
7	6	con2 64	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ b)_|_ = (a v b_|_)
8	5, 7	2an 72	. . . . . . . . 9 ((a ^ b)_|_ ^ (a_|_ ^ b)_|_) = ((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_))
9	8	ax-r4 36	. . . . . . . 8 ((a ^ b)_|_ ^ (a_|_ ^ b)_|_)_|_ = ((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_))_|_
10	3, 9	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) = ((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_))_|_
11	10	con2 64	. . . . . 6 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))_|_ = ((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_))
12		anor1 80	. . . . . . . 8 ((a_|_ v b) ^ b_|_) = ((a_|_ v b)_|_ v b)_|_
13		anor1 80	. . . . . . . . . . 11 (a ^ b_|_) = (a_|_ v b)_|_
14	13	ax-r1 34	. . . . . . . . . 10 (a_|_ v b)_|_ = (a ^ b_|_)
15	14	ax-r5 37	. . . . . . . . 9 ((a_|_ v b)_|_ v b) = ((a ^ b_|_) v b)
16	15	ax-r4 36	. . . . . . . 8 ((a_|_ v b)_|_ v b)_|_ = ((a ^ b_|_) v b)_|_
17	12, 16	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a_|_ v b) ^ b_|_) = ((a ^ b_|_) v b)_|_
18	17	con2 64	. . . . . 6 ((a_|_ v b) ^ b_|_)_|_ = ((a ^ b_|_) v b)
19	11, 18	2an 72	. . . . 5 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b))_|_ ^ ((a_|_ v b) ^ b_|_)_|_) = (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a ^ b_|_) v b))
20	19	ax-r4 36	. . . 4 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b))_|_ ^ ((a_|_ v b) ^ b_|_)_|_)_|_ = (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a ^ b_|_) v b))_|_
21	2, 20	ax-r2 35	. . 3 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) = (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a ^ b_|_) v b))_|_
22	1, 21	ax-r2 35	. 2 (a ->4 b) = (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a ^ b_|_) v b))_|_
23	22	con2 64	1 (a ->4 b)_|_ = (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a ^ b_|_) v b))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->4 wi4 16

This theorem is referenced by:  ud4lem1b 560  ud4lem1c 561  ud4lem1d 562  ud4lem3a 565  ud4lem3b 566  u4lem5 746

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37

This theorem depends on definitions:  df-a 39  df-i4 46

metamath.org