Theorem ud4lem3 567

Description: Lemma for unified disjunction.

Assertion

Ref	Expression
ud4lem3	((a ->4 b) ->4 (a v b)) = (a v b)

Proof of Theorem ud4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. 2 ((a ->4 b) ->4 (a v b)) = ((((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)_|_ ^ (a v b))) v (((a ->4 b)_|_ v (a v b)) ^ (a v b)_|_))
2		ud4lem3a 565	. . . . . 6 ((a ->4 b)_|_ ^ (a v b)) = (a ->4 b)_|_
3	2	lor 66	. . . . 5 (((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)_|_ ^ (a v b))) = (((a ->4 b) ^ (a v b)) v (a ->4 b)_|_)
4		comid 179	. . . . . . . 8 (a ->4 b) C (a ->4 b)
5	4	comcom2 175	. . . . . . 7 (a ->4 b) C (a ->4 b)_|_
6		df-i4 46	. . . . . . . 8 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
7		comor1 443	. . . . . . . . . . . 12 (a v b) C a
8		comor2 444	. . . . . . . . . . . 12 (a v b) C b
9	7, 8	com2an 466	. . . . . . . . . . 11 (a v b) C (a ^ b)
10	7	comcom2 175	. . . . . . . . . . . 12 (a v b) C a_|_
11	10, 8	com2an 466	. . . . . . . . . . 11 (a v b) C (a_|_ ^ b)
12	9, 11	com2or 465	. . . . . . . . . 10 (a v b) C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
13	10, 8	com2or 465	. . . . . . . . . . 11 (a v b) C (a_|_ v b)
14	8	comcom2 175	. . . . . . . . . . 11 (a v b) C b_|_
15	13, 14	com2an 466	. . . . . . . . . 10 (a v b) C ((a_|_ v b) ^ b_|_)
16	12, 15	com2or 465	. . . . . . . . 9 (a v b) C (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_))
17	16	comcom 435	. . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ v b) ^ b_|_)) C (a v b)
18	6, 17	bctr 173	. . . . . . 7 (a ->4 b) C (a v b)
19	5, 18	fh4r 458	. . . . . 6 (((a ->4 b) ^ (a v b)) v (a ->4 b)_|_) = (((a ->4 b) v (a ->4 b)_|_) ^ ((a v b) v (a ->4 b)_|_))
20		ancom 68	. . . . . . 7 (((a ->4 b) v (a ->4 b)_|_) ^ ((a v b) v (a ->4 b)_|_)) = (((a v b) v (a ->4 b)_|_) ^ ((a ->4 b) v (a ->4 b)_|_))
21		ax-a2 30	. . . . . . . . . 10 ((a v b) v (a ->4 b)_|_) = ((a ->4 b)_|_ v (a v b))
22		ud4lem3b 566	. . . . . . . . . 10 ((a ->4 b)_|_ v (a v b)) = (a v b)
23	21, 22	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 ((a v b) v (a ->4 b)_|_) = (a v b)
24		df-t 40	. . . . . . . . . 10 1 = ((a ->4 b) v (a ->4 b)_|_)
25	24	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 ((a ->4 b) v (a ->4 b)_|_) = 1
26	23, 25	2an 72	. . . . . . . 8 (((a v b) v (a ->4 b)_|_) ^ ((a ->4 b) v (a ->4 b)_|_)) = ((a v b) ^ 1)
27		an1 98	. . . . . . . 8 ((a v b) ^ 1) = (a v b)
28	26, 27	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a v b) v (a ->4 b)_|_) ^ ((a ->4 b) v (a ->4 b)_|_)) = (a v b)
29	20, 28	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a ->4 b) v (a ->4 b)_|_) ^ ((a v b) v (a ->4 b)_|_)) = (a v b)
30	19, 29	ax-r2 35	. . . . 5 (((a ->4 b) ^ (a v b)) v (a ->4 b)_|_) = (a v b)
31	3, 30	ax-r2 35	. . . 4 (((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)_|_ ^ (a v b))) = (a v b)
32	22	ran 71	. . . . 5 (((a ->4 b)_|_ v (a v b)) ^ (a v b)_|_) = ((a v b) ^ (a v b)_|_)
33		dff 93	. . . . . 6 0 = ((a v b) ^ (a v b)_|_)
34	33	ax-r1 34	. . . . 5 ((a v b) ^ (a v b)_|_) = 0
35	32, 34	ax-r2 35	. . . 4 (((a ->4 b)_|_ v (a v b)) ^ (a v b)_|_) = 0
36	31, 35	2or 67	. . 3 ((((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)_|_ ^ (a v b))) v (((a ->4 b)_|_ v (a v b)) ^ (a v b)_|_)) = ((a v b) v 0)
37		or0 94	. . 3 ((a v b) v 0) = (a v b)
38	36, 37	ax-r2 35	. 2 ((((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)_|_ ^ (a v b))) v (((a ->4 b)_|_ v (a v b)) ^ (a v b)_|_)) = (a v b)
39	1, 38	ax-r2 35	1 ((a ->4 b) ->4 (a v b)) = (a v b)

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 9  0wf 10   ->4 wi4 16

This theorem is referenced by:  ud4 580

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org