Theorem ud5lem1c 570

Description: Lemma for unified disjunction.

Assertion

Ref	Expression
ud5lem1c	((a ->5 b)_|_ ^ (b ->5 a)_|_) = (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))

Proof of Theorem ud5lem1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ud5lem0c 273	. . 3 (a ->5 b)_|_ = (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ (a v b))
2		ud5lem0c 273	. . . 4 (b ->5 a)_|_ = (((b_|_ v a_|_) ^ (b v a_|_)) ^ (b v a))
3		ax-a2 30	. . . . . 6 (b_|_ v a_|_) = (a_|_ v b_|_)
4		ax-a2 30	. . . . . 6 (b v a_|_) = (a_|_ v b)
5	3, 4	2an 72	. . . . 5 ((b_|_ v a_|_) ^ (b v a_|_)) = ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))
6		ax-a2 30	. . . . 5 (b v a) = (a v b)
7	5, 6	2an 72	. . . 4 (((b_|_ v a_|_) ^ (b v a_|_)) ^ (b v a)) = (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b))
8	2, 7	ax-r2 35	. . 3 (b ->5 a)_|_ = (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b))
9	1, 8	2an 72	. 2 ((a ->5 b)_|_ ^ (b ->5 a)_|_) = ((((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ (a v b)) ^ (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b)))
10		an4 78	. . 3 ((((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ (a v b)) ^ (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b))) = ((((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))) ^ ((a v b) ^ (a v b)))
11		ancom 68	. . . 4 ((((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))) ^ ((a v b) ^ (a v b))) = (((a v b) ^ (a v b)) ^ (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))))
12		anidm 103	. . . . . 6 ((a v b) ^ (a v b)) = (a v b)
13		an4 78	. . . . . . 7 (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))) = (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ ((a v b_|_) ^ (a_|_ v b)))
14		anidm 103	. . . . . . . . . 10 ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b_|_)) = (a_|_ v b_|_)
15	14	ran 71	. . . . . . . . 9 (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ ((a v b_|_) ^ (a_|_ v b))) = ((a_|_ v b_|_) ^ ((a v b_|_) ^ (a_|_ v b)))
16		ancom 68	. . . . . . . . 9 ((a_|_ v b_|_) ^ ((a v b_|_) ^ (a_|_ v b))) = (((a v b_|_) ^ (a_|_ v b)) ^ (a_|_ v b_|_))
17	15, 16	ax-r2 35	. . . . . . . 8 (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ ((a v b_|_) ^ (a_|_ v b))) = (((a v b_|_) ^ (a_|_ v b)) ^ (a_|_ v b_|_))
18		anass 69	. . . . . . . 8 (((a v b_|_) ^ (a_|_ v b)) ^ (a_|_ v b_|_)) = ((a v b_|_) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))
19	17, 18	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b_|_)) ^ ((a v b_|_) ^ (a_|_ v b))) = ((a v b_|_) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))
20	13, 19	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))) = ((a v b_|_) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))
21	12, 20	2an 72	. . . . 5 (((a v b) ^ (a v b)) ^ (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)))) = ((a v b) ^ ((a v b_|_) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_))))
22		anass 69	. . . . . 6 (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_))) = ((a v b) ^ ((a v b_|_) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_))))
23	22	ax-r1 34	. . . . 5 ((a v b) ^ ((a v b_|_) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))) = (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))
24	21, 23	ax-r2 35	. . . 4 (((a v b) ^ (a v b)) ^ (((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)))) = (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))
25	11, 24	ax-r2 35	. . 3 ((((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b))) ^ ((a v b) ^ (a v b))) = (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))
26	10, 25	ax-r2 35	. 2 ((((a_|_ v b_|_) ^ (a v b_|_)) ^ (a v b)) ^ (((a_|_ v b_|_) ^ (a_|_ v b)) ^ (a v b))) = (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))
27	9, 26	ax-r2 35	1 ((a ->5 b)_|_ ^ (b ->5 a)_|_) = (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ ((a_|_ v b) ^ (a_|_ v b_|_)))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->5 wi5 17

This theorem is referenced by:  ud5lem1 571

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37

This theorem depends on definitions:  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i5 47

metamath.org