Theorem ud5lem3a 573

Description: Lemma for unified disjunction.

Assertion

Ref	Expression
ud5lem3a	((a ->5 b) ^ (a v (a_|_ ^ b))) = ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))

Proof of Theorem ud5lem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i5 47	. . 3 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_))
2	1	ran 71	. 2 ((a ->5 b) ^ (a v (a_|_ ^ b))) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v (a_|_ ^ b)))
3		comanr1 446	. . . . . 6 a C (a ^ b)
4		comanr1 446	. . . . . . 7 a_|_ C (a_|_ ^ b)
5	4	comcom6 441	. . . . . 6 a C (a_|_ ^ b)
6	3, 5	com2or 465	. . . . 5 a C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
7		comanr1 446	. . . . . 6 a_|_ C (a_|_ ^ b_|_)
8	7	comcom6 441	. . . . 5 a C (a_|_ ^ b_|_)
9	6, 8	com2or 465	. . . 4 a C (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_))
10	9, 5	fh2 452	. . 3 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v (a_|_ ^ b))) = (((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a) v ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a_|_ ^ b)))
11	6, 8	fh1r 455	. . . . . 6 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ a))
12	3, 5	fh1r 455	. . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a) = (((a ^ b) ^ a) v ((a_|_ ^ b) ^ a))
13		an32 76	. . . . . . . . . . . 12 ((a ^ b) ^ a) = ((a ^ a) ^ b)
14		anidm 103	. . . . . . . . . . . . 13 (a ^ a) = a
15	14	ran 71	. . . . . . . . . . . 12 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ b)
16	13, 15	ax-r2 35	. . . . . . . . . . 11 ((a ^ b) ^ a) = (a ^ b)
17		ancom 68	. . . . . . . . . . . 12 ((a_|_ ^ b) ^ a) = (a ^ (a_|_ ^ b))
18		anass 69	. . . . . . . . . . . . . 14 ((a ^ a_|_) ^ b) = (a ^ (a_|_ ^ b))
19	18	ax-r1 34	. . . . . . . . . . . . 13 (a ^ (a_|_ ^ b)) = ((a ^ a_|_) ^ b)
20		dff 93	. . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (a ^ a_|_)
21	20	ax-r1 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 (a ^ a_|_) = 0
22	21	ran 71	. . . . . . . . . . . . . 14 ((a ^ a_|_) ^ b) = (0 ^ b)
23		an0r 101	. . . . . . . . . . . . . 14 (0 ^ b) = 0
24	22, 23	ax-r2 35	. . . . . . . . . . . . 13 ((a ^ a_|_) ^ b) = 0
25	19, 24	ax-r2 35	. . . . . . . . . . . 12 (a ^ (a_|_ ^ b)) = 0
26	17, 25	ax-r2 35	. . . . . . . . . . 11 ((a_|_ ^ b) ^ a) = 0
27	16, 26	2or 67	. . . . . . . . . 10 (((a ^ b) ^ a) v ((a_|_ ^ b) ^ a)) = ((a ^ b) v 0)
28		or0 94	. . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v 0) = (a ^ b)
29	27, 28	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 (((a ^ b) ^ a) v ((a_|_ ^ b) ^ a)) = (a ^ b)
30	12, 29	ax-r2 35	. . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a) = (a ^ b)
31		ancom 68	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b_|_) ^ a) = (a ^ (a_|_ ^ b_|_))
32		anass 69	. . . . . . . . . . 11 ((a ^ a_|_) ^ b_|_) = (a ^ (a_|_ ^ b_|_))
33	32	ax-r1 34	. . . . . . . . . 10 (a ^ (a_|_ ^ b_|_)) = ((a ^ a_|_) ^ b_|_)
34	21	ran 71	. . . . . . . . . . 11 ((a ^ a_|_) ^ b_|_) = (0 ^ b_|_)
35		an0r 101	. . . . . . . . . . 11 (0 ^ b_|_) = 0
36	34, 35	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 ((a ^ a_|_) ^ b_|_) = 0
37	33, 36	ax-r2 35	. . . . . . . . 9 (a ^ (a_|_ ^ b_|_)) = 0
38	31, 37	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b_|_) ^ a) = 0
39	30, 38	2or 67	. . . . . . 7 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ a)) = ((a ^ b) v 0)
40	39, 28	ax-r2 35	. . . . . 6 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ a) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ a)) = (a ^ b)
41	11, 40	ax-r2 35	. . . . 5 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a) = (a ^ b)
42		coman1 177	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b) C a_|_
43	42	comcom7 442	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) C a
44		coman2 178	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) C b
45	43, 44	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) C (a ^ b)
46	42, 44	com2an 466	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) C (a_|_ ^ b)
47	45, 46	com2or 465	. . . . . 6 (a_|_ ^ b) C ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
48	44	comcom2 175	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) C b_|_
49	42, 48	com2an 466	. . . . . 6 (a_|_ ^ b) C (a_|_ ^ b_|_)
50	47, 49	fh1r 455	. . . . 5 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a_|_ ^ b)) = ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b)))
51	41, 50	2or 67	. . . 4 (((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a) v ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a_|_ ^ b))) = ((a ^ b) v ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b))))
52		ancom 68	. . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ (a_|_ ^ b)) = ((a_|_ ^ b) ^ ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)))
53		ax-a2 30	. . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) = ((a_|_ ^ b) v (a ^ b))
54	53	lan 70	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) ^ ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))) = ((a_|_ ^ b) ^ ((a_|_ ^ b) v (a ^ b)))
55		a5c 113	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) ^ ((a_|_ ^ b) v (a ^ b))) = (a_|_ ^ b)
56	54, 55	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) ^ ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))) = (a_|_ ^ b)
57	52, 56	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ (a_|_ ^ b)) = (a_|_ ^ b)
58		an4 78	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b)) = ((a_|_ ^ a_|_) ^ (b_|_ ^ b))
59		ancom 68	. . . . . . . . . . 11 (b_|_ ^ b) = (b ^ b_|_)
60		dff 93	. . . . . . . . . . . 12 0 = (b ^ b_|_)
61	60	ax-r1 34	. . . . . . . . . . 11 (b ^ b_|_) = 0
62	59, 61	ax-r2 35	. . . . . . . . . 10 (b_|_ ^ b) = 0
63	62	lan 70	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ a_|_) ^ (b_|_ ^ b)) = ((a_|_ ^ a_|_) ^ 0)
64		an0 100	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ a_|_) ^ 0) = 0
65	63, 64	ax-r2 35	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ a_|_) ^ (b_|_ ^ b)) = 0
66	58, 65	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b)) = 0
67	57, 66	2or 67	. . . . . 6 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b))) = ((a_|_ ^ b) v 0)
68		or0 94	. . . . . 6 ((a_|_ ^ b) v 0) = (a_|_ ^ b)
69	67, 68	ax-r2 35	. . . . 5 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b))) = (a_|_ ^ b)
70	69	lor 66	. . . 4 ((a ^ b) v ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) ^ (a_|_ ^ b)) v ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ ^ b)))) = ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
71	51, 70	ax-r2 35	. . 3 (((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ a) v ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a_|_ ^ b))) = ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
72	10, 71	ax-r2 35	. 2 ((((a ^ b) v (a_|_ ^ b)) v (a_|_ ^ b_|_)) ^ (a v (a_|_ ^ b))) = ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))
73	2, 72	ax-r2 35	1 ((a ->5 b) ^ (a v (a_|_ ^ b))) = ((a ^ b) v (a_|_ ^ b))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 10   ->5 wi5 17

This theorem is referenced by:  ud5lem3 576

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i5 47  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org