Theorem oadist 999

Description: Distributive law derived from OAL.

Hypothesis

Ref	Expression
oadist.1	d ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))

Assertion

Ref	Expression
oadist	((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))

Proof of Theorem oadist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oadist.1	. . . . 5 d ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
2	1	oagen1 994	. . . 4 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
3	2	bile 134	. . 3 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
4		anidm 103	. . . . . . 7 ((a →2 b) ∩ (a →2 b)) = (a →2 b)
5	4	ax-r1 34	. . . . . 6 (a →2 b) = ((a →2 b) ∩ (a →2 b))
6	5	ran 71	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) = (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c))
7		anass 69	. . . . 5 (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c)) = ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
8	6, 7	ax-r2 35	. . . 4 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) = ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
9		leor 151	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ≤ (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
10	8, 9	bltr 130	. . 3 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ≤ (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
11	3, 10	letr 129	. 2 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
12		ledi 166	. 2 (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
13	11, 12	lebi 137	1 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))

Syntax hints:   = wb 1   ≤ wle 2   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₀ wi0 12   →₂ wi2 14

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-3oa 978

This theorem depends on definitions:  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i0 42  df-i1 43  df-i2 44  df-le1 122  df-le2 123

metamath.org