Theorem oadist2a 987

Description: Distributive inference derived from OA.

Hypothesis

Ref	Expression
oadist2a.1	(d ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))

Assertion

Ref	Expression
oadist2a	((a →2 b) ∩ (d ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))

Proof of Theorem oadist2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-a2 30	. . 3 (d ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ d)
2	1	lan 70	. 2 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ d))
3		ax-a2 30	. . . . . . 7 (((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ d) = (d ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
4		oadist2a.1	. . . . . . 7 (d ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
5	3, 4	bltr 130	. . . . . 6 (((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ d) ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
6	5	lelan 159	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ d)) ≤ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
7		df-i0 42	. . . . . . . 8 ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
8	7	lan 70	. . . . . . 7 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
9		oath1 984	. . . . . . 7 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
10	8, 9	ax-r2 35	. . . . . 6 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
11		leo 150	. . . . . . 7 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ≤ (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))
12		df-i2 44	. . . . . . . 8 ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))
13	12	ax-r1 34	. . . . . . 7 (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )) = ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
14	11, 13	lbtr 131	. . . . . 6 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ≤ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
15	10, 14	bltr 130	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
16	6, 15	letr 129	. . . 4 ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ d)) ≤ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
17	16	distlem 180	. . 3 ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ d)) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∪ ((a →2 b) ∩ d))
18		ax-a2 30	. . 3 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∪ ((a →2 b) ∩ d)) = (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
19	17, 18	ax-r2 35	. 2 ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ d)) = (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
20	2, 19	ax-r2 35	1 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))

Syntax hints:   = wb 1   ≤ wle 2  ^⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₀ wi0 12   →₂ wi2 14

This theorem is referenced by:  oadist2b 988  oadist2 989

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-3oa 978

This theorem depends on definitions:  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i0 42  df-i1 43  df-i2 44  df-le1 122  df-le2 123

metamath.org