Theorem oath1 984

Description: OA theorem.

Assertion

Ref	Expression
oath1	((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))

Proof of Theorem oath1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaliii 981	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
2	1	lan 70	. . 3 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
3		anidm 103	. . . 4 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
4	3	ax-r1 34	. . 3 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
5		anandir 107	. . 3 (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
6	2, 4, 5	3tr1 60	. 2 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
7		ax-a2 30	. . 3 ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ (b ∪ c)⊥ )
8	7	lan 70	. 2 (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∩ (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ (b ∪ c)⊥ ))
9		a5c 113	. 2 (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∩ (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ (b ∪ c)⊥ )) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
10	6, 8, 9	3tr 62	1 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))

Syntax hints:   = wb 1  ^⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₂ wi2 14

This theorem is referenced by:  oalem2 986  oadist2a 987  oacom 991  oacom3 993  oagen1 994

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-3oa 978

This theorem depends on definitions:  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i1 43  df-i2 44  df-le1 122  df-le2 123

metamath.org