Theorem u4lem4 741

Description: Lemma for unified implication study.

Assertion

Ref	Expression
u4lem4	(a →4 (a →4 (b →4 a))) = (a →4 (b →4 a))

Proof of Theorem u4lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i4 46	. 2 (a →4 (a →4 (b →4 a))) = (((a ∩ (a →4 (b →4 a))) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a)))) ∪ ((a⊥ ∪ (a →4 (b →4 a))) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ))
2		u4lem3 734	. . . . . . . . 9 (a →4 (b →4 a)) = (a⊥ ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ )))
3		comid 179	. . . . . . . . . . . 12 a C a
4	3	comcom2 175	. . . . . . . . . . 11 a C a⊥
5		comanr1 446	. . . . . . . . . . . 12 a C (a ∩ b)
6		comanr1 446	. . . . . . . . . . . 12 a C (a ∩ b⊥ )
7	5, 6	com2or 465	. . . . . . . . . . 11 a C ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ ))
8	4, 7	com2or 465	. . . . . . . . . 10 a C (a⊥ ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ )))
9	8	comcom 435	. . . . . . . . 9 (a⊥ ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ ))) C a
10	2, 9	bctr 173	. . . . . . . 8 (a →4 (b →4 a)) C a
11	10	comcom 435	. . . . . . 7 a C (a →4 (b →4 a))
12	11, 4	fh2r 456	. . . . . 6 ((a ∪ a⊥ ) ∩ (a →4 (b →4 a))) = ((a ∩ (a →4 (b →4 a))) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))))
13	12	ax-r1 34	. . . . 5 ((a ∩ (a →4 (b →4 a))) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a)))) = ((a ∪ a⊥ ) ∩ (a →4 (b →4 a)))
14		ancom 68	. . . . . 6 ((a ∪ a⊥ ) ∩ (a →4 (b →4 a))) = ((a →4 (b →4 a)) ∩ (a ∪ a⊥ ))
15		df-t 40	. . . . . . . . 9 1 = (a ∪ a⊥ )
16	15	ax-r1 34	. . . . . . . 8 (a ∪ a⊥ ) = 1
17	16	lan 70	. . . . . . 7 ((a →4 (b →4 a)) ∩ (a ∪ a⊥ )) = ((a →4 (b →4 a)) ∩ 1)
18		an1 98	. . . . . . 7 ((a →4 (b →4 a)) ∩ 1) = (a →4 (b →4 a))
19	17, 18	ax-r2 35	. . . . . 6 ((a →4 (b →4 a)) ∩ (a ∪ a⊥ )) = (a →4 (b →4 a))
20	14, 19	ax-r2 35	. . . . 5 ((a ∪ a⊥ ) ∩ (a →4 (b →4 a))) = (a →4 (b →4 a))
21	13, 20	ax-r2 35	. . . 4 ((a ∩ (a →4 (b →4 a))) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a)))) = (a →4 (b →4 a))
22	10	comcom4 437	. . . . . 6 (a →4 (b →4 a))⊥ C a⊥
23		comid 179	. . . . . . 7 (a →4 (b →4 a)) C (a →4 (b →4 a))
24	23	comcom3 436	. . . . . 6 (a →4 (b →4 a))⊥ C (a →4 (b →4 a))
25	22, 24	fh1r 455	. . . . 5 ((a⊥ ∪ (a →4 (b →4 a))) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ) = ((a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ) ∪ ((a →4 (b →4 a)) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ))
26		dff 93	. . . . . . . 8 0 = ((a →4 (b →4 a)) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )
27	26	ax-r1 34	. . . . . . 7 ((a →4 (b →4 a)) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ) = 0
28	27	lor 66	. . . . . 6 ((a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ) ∪ ((a →4 (b →4 a)) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = ((a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ) ∪ 0)
29		or0 94	. . . . . 6 ((a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ) ∪ 0) = (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )
30	28, 29	ax-r2 35	. . . . 5 ((a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ) ∪ ((a →4 (b →4 a)) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )
31	25, 30	ax-r2 35	. . . 4 ((a⊥ ∪ (a →4 (b →4 a))) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ) = (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )
32	21, 31	2or 67	. . 3 (((a ∩ (a →4 (b →4 a))) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a)))) ∪ ((a⊥ ∪ (a →4 (b →4 a))) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ ))
33	10	comcom2 175	. . . . . 6 (a →4 (b →4 a)) C a⊥
34	23	comcom2 175	. . . . . 6 (a →4 (b →4 a)) C (a →4 (b →4 a))⊥
35	33, 34	fh3 453	. . . . 5 ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = (((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ ) ∩ ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a →4 (b →4 a))⊥ ))
36		df-t 40	. . . . . . . 8 1 = ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a →4 (b →4 a))⊥ )
37	36	ax-r1 34	. . . . . . 7 ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a →4 (b →4 a))⊥ ) = 1
38	37	lan 70	. . . . . 6 (((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ ) ∩ ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = (((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ ) ∩ 1)
39		an1 98	. . . . . 6 (((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ ) ∩ 1) = ((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ )
40	38, 39	ax-r2 35	. . . . 5 (((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ ) ∩ ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = ((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ )
41	35, 40	ax-r2 35	. . . 4 ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = ((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ )
42	2	ax-r5 37	. . . . 5 ((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ ) = ((a⊥ ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ ))) ∪ a⊥ )
43		or32 75	. . . . . 6 ((a⊥ ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ ))) ∪ a⊥ ) = ((a⊥ ∪ a⊥ ) ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ )))
44		oridm 102	. . . . . . . 8 (a⊥ ∪ a⊥ ) = a⊥
45	44	ax-r5 37	. . . . . . 7 ((a⊥ ∪ a⊥ ) ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ ))) = (a⊥ ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ )))
46	2	ax-r1 34	. . . . . . 7 (a⊥ ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ ))) = (a →4 (b →4 a))
47	45, 46	ax-r2 35	. . . . . 6 ((a⊥ ∪ a⊥ ) ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ ))) = (a →4 (b →4 a))
48	43, 47	ax-r2 35	. . . . 5 ((a⊥ ∪ ((a ∩ b) ∪ (a ∩ b⊥ ))) ∪ a⊥ ) = (a →4 (b →4 a))
49	42, 48	ax-r2 35	. . . 4 ((a →4 (b →4 a)) ∪ a⊥ ) = (a →4 (b →4 a))
50	41, 49	ax-r2 35	. . 3 ((a →4 (b →4 a)) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = (a →4 (b →4 a))
51	32, 50	ax-r2 35	. 2 (((a ∩ (a →4 (b →4 a))) ∪ (a⊥ ∩ (a →4 (b →4 a)))) ∪ ((a⊥ ∪ (a →4 (b →4 a))) ∩ (a →4 (b →4 a))⊥ )) = (a →4 (b →4 a))
52	1, 51	ax-r2 35	1 (a →4 (a →4 (b →4 a))) = (a →4 (b →4 a))

Syntax hints:   = wb 1  ^⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7  1wt 9  0wf 10   →₄ wi4 16

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i4 46  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org